Hallo Lena,
einen Schulaufenthalt in den USA privat zu organisieren ist nur dann möglich, wenn du dort Verwandte hast. Wenn deine Familie oder du dort nur jemanden kennen, wirst du kein Visum bekommen können.
Mit den Austauschorganisationen besteht eine Vereinbarung, dass kein Schulgeld gezahlt werden muss. Private Austauschschüler müssen das allerdnigs, so dass ein privater Aufenthalt schnell genauso teuer werden kann, wie ein organisierter. Das Schulgeld kann man auch nicht umgehen, da man für den Visumsantrag eine Zahlungsbescheinigung der Schule benötigt.

Wenn du einen Schulaufenthalt über eine Organisation durchführst, kommt es zunächst einmal darauf an, ob dies eine gemmeinnützige (d.h. die Kosten die du bezahlst, decken genau die anfallenden Kosten) oder kommerzielle (aus deinem Beitrag wird noch Gewinn gemacht) Organisation handelt.
Bei den Kosten jandelt es sich gemeinhin um Flug und Weiterreise, Versicherung, Verwaltung in Deutschland (Mitarbeiter im Büro und wenn Auswahlen und Vorbereitungen nicht von Ehrenamtlichen übernommen werden auch noch dafür), Verwaltung in den USA/oder anderen Ländern.
Meistens sind dabei kurze Aufenthalte, wie bei dir, fast genauso teuer, wie Aufenthalte von einem ganzen Jahr, da es ja kaum laufentde Kosten gibt.

Bei weiteren Fragen zu Visa kannst du dich auch an den Beratungsservice der US-Botschaft in Deutschland "EducationUSA" wenden. Die Kontaktmöglichkeiten findest du unter www.rausvonzuhaus.de > Länderinfos > USA (recht weit oben).

Viel Erfolg!